代数系统
- 代数结构
- 代数系统的引入 (5-1)
- 运算及其性质 (5-2)
- 半群 (5-3)
- 群与子群 (5-4)
- 阿贝尔群和循环群 (5-5)
- 陪集与拉格朗日定理 (5-7)
主要知识点
- 运算及其性质
- 代数系统
- 半群，群，子群
- 交换群、循环群
- 拉格朗日定理
代数系统基础
非空集合 $A$ 以及定义在集合上的若干个运算 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 组成的系统称为代数系统，记作 $\langle A,f_1,f_2,\dots ,f_n \rangle$.
有 $f_k$ 个运算不一定是 $k$ 元运算，例如 $\langle I_+ , + \rangle$ 就是一个二元运算.
基本性质
- 封闭：定义见P177
- 简单说就是映射的值域是定义域的子集。或者说是运算的结果还在原来的集合上（不超出原集合）。
- 对于任意的 $x,y \in A$ 在运算 $ * $ 上都是封闭的，则称这个运算为封闭的。
- 可交换 ：P179
- 对于任意的 $x,y \in A$，都有 $x * y=y * x$ 则称二元运算 $ * $ 可交换
- 可结合:(适用于代数系统中存在两种运算，例如 $\langle R,+,\times \rangle$ )
- 对于任意的 $x,y \in A$，都有 $x * (y * z)=(x * y) * z$，则称二元运算 $ * $ 是可结合的
- 可分配
- 对于任意的 $x,y \in A$，都有 $x * (y\triangle z)=(x * y) \triangle (x * z) $ 以及 $(y \triangle z) * x=(y * x) \triangle (z * x) $ ，则称运算 $ * $ 对于 运算 $\triangle $ 是可分配的。
- 吸收律
- 对于任意的 $x,y \in A$，都有 $x * (x\triangle y)=x$ 以及 $x\triangle (x * y)=x$ ，则称运算 $ * $ 和运算 $\triangle $ 满足吸收律
- 幂等（等幂）
- 对于任意的 $x\in A$ 都有 $x * x=x$，则称运算 $ * $ 等幂
- 幺元：与其他元素运算结果等于其他元素
- $e_l * x=x$ 其中 $e_l$ 为左幺元
- $x * e_r=x$ 其中 $e_r$ 为右幺元
- $e_l=e_r=e$ 则 $e$ 为幺元，幺元是唯一的
- $e * x=x * e=x$
- 零元：与其他元素运算结果都等于零元
- $\theta_l * x = \theta_l$ 其中 $\theta_l$ 为左零元
- $x * \theta_r=\theta_r$ 其中 $\theta_r$ 为右零元
- $\theta_l=\theta_r=\theta$ 则 $\theta$ 为零元，零元是唯一的
- $\theta * x = x * \theta =\theta$
- 逆元：与其他元素运算结果为幺元
- $a*b=e$，其中 $a$ 为 $b$ 的左逆元， $b$ 为 $a$ 的右逆元
- $b*a=e$，其中 $b$ 为 $a$ 的左逆元， $a$ 为 $b$ 的右逆元
- 若 $b$ 既为 $a$的左逆元，又为右逆元，则称 $b$ 为 $a$ 的一个逆元
- 显然 $a$ 与 $b$ 互逆，$x$ 的逆元通常记作 $x^{-1}$，每个元素的逆元是唯一的
从运算表中看：
- 封闭性： 所有元素都属于 $A$
- 交换性： 关于主对角线对称
- 幂等性： 主对角线上的元素都与表头相同
- 幺元：
- 如果某行和最上层表头相同，则左侧的表头为左幺元
- 如果某列和最左侧表头相同，则上层的表头为右幺元
- 如果相等的找到了幺元
- 零元：
- 有一行与最左侧相同，则左侧为左零元
- 有一列与最上层相同，则上层为右零元
- 逆元：详见（P184）
- 在运算表 $[a,b]$ 以及 $[b,a]$ 位置的元素均为幺元，则 $a，b$ 互逆
注意：
- 如果要证明某个运算是否满足某个定律，按照性质进行运算来证明。
- $\langle A,* \rangle$ 是一个代数系统，且集合中元素的数量大于1，如果存在幺元和零元，则幺元不等于零元 $e \not= \theta$
群论
广群、半群、独异点、群
定义
这四种的定义是循序渐进的，可见P192图：
在集合非空的基础上：
| 广群 | 半群 | 独异点 | 群 | |
|---|---|---|---|---|
| 封闭 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 可结合 | 是 | 是 | 是 | |
| 有幺元 | 是 | 是 | ||
| 逆元 | 集合上的每个元素在集合内都有逆元 |
子半群：
- 在一个半群下，如果集合 $B$ 为原集合 $S$ 的子集，并且运算 $ * $ 仍然是封闭的，则称其为原代数系统的自半群。
- 证明： 1. 大集合为半群（可结合） ；2. 小集合上封闭
独异点： - 又称为“含幺半群“
- 在运算表中任意两行或者两列均不相同
应该关注一下证明
其他知识点
群的阶数：集合中元素的数量就是集合的阶数，记作 $|A|$
置换： 集合 $S$ 为非空集合，从集合 $S$ 到 $S$ 的双射称为一个置换，例如 $S=\lbrace a,b,c,d \rbrace$ 的置换可以表示为：
$$
\begin{pmatrix}
a & b & c & d \newline
b & c & d & a
\end{pmatrix}
$$
群的性质
假设一个群 $\langle G,* \rangle$
- 群中没有零元
- 群的运算表中每一行每一列都是集合 $G$ 的一个置换，这也说明：
- 每个元素在每行每列中只出现一次
- 每个元素在每行每列中都出现（每行每列都包括所有的元素）
- 除了幺元 $e$ 以外不存在其他的等幂元
- 子群： $G$ 的子集 $S$ 非空并且 $\langle S,* \rangle$ 为一个群，则其为 $\langle G,* \rangle$ 的一个子群
- 子群的幺元不变，仍然为 $e$
- 特殊的：
- 如果 $G$ 的子集 $B$ 为一个有限集，则当运算 $ * $ 在 $B$ 上封闭的时候 $\langle B,* \rangle$ 为一个群，也为 $\langle G,* \rangle$ 的子群
- 如果 $G$ 的子集 $S$ 中的任意元素 $a,b$ 有 $a * b^{-1} \in S$ 则 $\langle S,* \rangle$ 为 $\langle G,* \rangle$ 的一个子群
- 平凡子群： 1. $B = G$ 2. $ B = \lbrace e \rbrace$
如何证明
一般来说需要证明的就是群的四个条件：
- 封闭
- 可交换
- 有幺元
- 每个元素都有逆元
其中可交换可以直接“继承”，一般是不需要证明的。
特殊群
交换群、循环群
- 交换群（阿贝尔群）：运算 $ * $ 是可交换的
- 充要条件：对于任意的 $a,b \in G$ ，有 $(ab)(ab)=(aa)(bb)$
- 循环群：所有元素均可以由一个 $a$ 的幂组成（P199）
- 生成元：这个 $a$ 就是生成元，见P198上面。
- 循环群一定是一个交换群（阿贝尔群）
- $|G|=n$，生成元为 $a$，幺元为 $e$，则 $a^n=e$。 这个 $n$ 也是让 $a^n=e$ 的最小整数（ $n$ 为元素 $a$ 的阶）
陪集与拉格朗日定理
集合的积： $AB=\lbrace a*b|a\in A,b \in B \rbrace$
集合的逆： $A^{-1}=\lbrace a^{-1} |a\in A \rbrace$
陪集：
- $\langle H,* \rangle$ 是 $\langle G,* \rangle$ 的子群， $a\in G$
- $\lbrace a \rbrace H \enspace (H\lbrace a \rbrace)$ 称为 $a$ 所确定的 $H$ 在 $G$ 中的左陪集（右陪集）
- 简称为 $H$ 关于 $a$ 的左陪集（右陪集），记为 $aH \enspace (Ha)$
- 元素 $a$ 称为陪集的代表元素
由“积”运算的结果可知，陪集是一个集合，其中的结果就是元素 $a$ 与 子群 $H$ 所在的集合中所有元素运算的结果。
拉格朗日定理
推论：
- 任何质数阶的群不可能有非平凡子群（只有平凡子群，也就是 $\varnothing , G$）
- 子群的阶是原来群的因子
- $n$ 阶有限群里，
区分：
群的阶：集合中元素的数量
元素的阶：$a^n=e$ 中的 $n $